变双曲圆弧齿线圆柱齿轮 (CHATT) 具备啮合性能好, 重合系数大, 承载力大, 传动效率高, 无附加轴向力等优点，可替代直齿、斜齿和人字形圆柱齿轮的使用，其综合性能优越于上述3种齿轮。但是，由于CHATT的动态设计基础理论等并不完善，以及航空航天、船舶等领域的大功率设备对CHATT系统的动力稳定性和振动噪声控制的苛刻要求，最终导致这种齿轮在重型装备中仍未得到推广。纵观CHATT基础理论的研究情况，已经获得了许多有重要价值的研究成果。Litvin等^[1-2]应用齿轮啮合的运动学方法，推导圆弧齿轮的啮合方程、啮合副的共轭齿廓方程、接触线方程等，奠定其研究的理论基础。在长谷川三郎^[3]、石桥彰^[4]、Tamotsu Koga^[5]等对圆弧齿线齿轮的传动特性和加工方法研究的基础上，中国国内戴玉堂^[6]、毋荣亮^[7]等相继开展其基础研究工作。Tseng等^[8-10]建立圆弧齿线齿轮的数学模型，对其接触特性进行研究，并对其加工方法开展一系列研究工作。宋爱平等^[11]研究渐开线弧齿圆柱齿轮的啮合特性，仿真得到其接触线长，重合度大，啮合平稳等优点。马振群等^[12]研究对称弧形齿线圆柱齿轮失配啮合传动的问题，完成齿轮副真实齿面接触分析。高红梅等^[13]论述了圆弧齿线齿轮的发展现状及前景。作者团队在前人研究的基础上^[14-15]，依据齿轮空间啮合理论，对大刀盘旋转加工CHATT的原理进行理论研究，得到其啮合的数学模型，完成强度等分析，并通过3D打印得到理论模型件，通过现场齿轮加工得到样件。

总结国内外的研究现状，对于CHATT的研究工作中，涉及弹性动力学的并不多，建模和分析也忽略了一些非线性因素。而CHATT系统的振动特性将直接反映传动系统的性能与工作可靠性，在设计阶段就对其动态响应及结构噪声特性进行预估，将有效提高所设计齿轮系统的平稳性，故CHATT的非线性振动特性研究尤为重要。作者借鉴直齿、斜齿、锥齿和人字齿等的非线性振动特性已有的研究成果^[16-18]，对CHATT非线性振动特性开展研究，为其后续的动态设计、降噪提供理论依据和技术支持。

1 变双曲圆弧齿线圆柱齿轮系统内部激励

动态激励是齿轮系统产生噪声和振动的根本原因，研究中考虑的内部激励，主要包括时变刚度激励、加工误差引起的轴向误差激励以及啮入冲击激励。图 1为内部激励计算流程图，通过CHATT齿轮副的啮合分析来计算系统内部激励^[16]。

1.1 计算时变刚度激励

一对CHATT齿轮正常线接触啮合时，其啮合线是一条空间曲线，任何接触点的诱导法曲率和方向，以及载荷分布都不同，空间几何关系相当复杂。对CHATT齿轮副进行承载接触分析时作出两点假设：沿诱导法曲率作用在接触点上的载荷相同；齿轮传递转矩的大小等于各接触点上的载荷形成的转矩之和。CHATT的重合系数比其他种类齿轮的都大，故在计算啮合过程中的啮合刚度必需考虑多对齿同时啮合的情况。基于上述假设计算出啮合线上不同啮合位置的接触力和接触变形，从而得到啮合线上的离散啮合刚度值，并拟合成关于时间的多阶简谐波叠加函数，在振动模型的求解中取1阶谐波分量。

图 2为CHATT样件在一个啮合周期内的啮合综合刚度曲线。

由于啮合区域随啮入或啮出呈现周期性变化，故综合刚度具有周期性。只选取一对齿轮，通过啮合时对应的接触力和接触变形，拟合该单对齿轮的离散刚度值得到如图 3所示的单对齿啮合刚度曲线。

1.2 计算误差激励

误差激励属于位移激励，主要由加工误差和安装误差引起，会使齿轮瞬时传动比改变。对于加工误差，主要考虑齿形和基节误差，利用齿轮加工精度等级规定的偏差值，通过简谐波叠加函数来模拟加工误差^[19]。低转速下，CHATT制造安装误差引起的轴向位移也是系统高速运动时振动的激励源。根据CHATT齿形和基节误差，通过承载接触分析得到轴向移动位移的离散值，同1.1节啮合刚度的处理方式一样，拟合成关于时间的简谐波叠加函数曲线见图 4。

1.3 计算冲击激励

由Seireg等^[20]计算并试验验证可知啮入冲击的影响明显比啮出冲击大，故仅考虑啮入冲击对系统的影响。需要说明的是，CHATT啮合冲击包括基节误差使轮齿偏离理论啮合线产生的冲击和参与啮合对数变化而产生的冲击，本文将后者作为刚度激励考虑到动力学系统中。最大啮入冲击力计算公式^[21]：

$ {F_{\rm{s}}} = \Delta v\sqrt {\frac{{b{J_1}{J_2}}}{{({J_1}r_{_{b2}}^{^2} + {J_2}r_{_{b1}}^{^2}){q_{\rm{s}}}}}} $

(1)

式中, Δv为啮入冲击速度，J₁、J₂分别为CHATT系统中齿轮1和2的转动惯量，r_b1、r_b2分别为齿轮1和2的瞬时啮合线对应的瞬时基圆半径，b为齿宽，q_s是初始啮入点处的综合柔度。

图 5为转速1 200 r/min时，一个啮合周期内CHATT啮入冲击力曲线。

2 变双曲圆弧齿线圆柱齿轮振动模型

为实现CHATT均载传动，主动轮采用轴向浮动安装，研究时需将CHATT沿着宽度方向分割成宽度为无穷小的齿轮，则每个齿轮可以近似看成斜齿轮。采用集中参数法建立如图 6所示的CHATT弯扭轴耦合的振动模型，总共包含12个自由度：

$ \left\{ \alpha \right\} = {\{ {y_{p1}}, {z_{p1}}, {\psi _{p1}}, {y_{g1}}, {z_{g1}}, {\psi _{g1}}, {y_{p2}}, {z_{p2}}, {\psi _{p2}}, {y_{g2}}, {z_{g2}}, {\psi _{g2}}\} ^{\rm{T}}}。$

图 6中：y_p1和z_p1为主动轮右端的两个假想半弧齿轮中心点O_p1在y向和z向的平移振动位移；ψ_p1为O_p1转角振动位移；y_g1和z_g1分别为主动轮右端的两个假想半弧齿轮中心点O_g1在y向和z向的平移振动位移；ψ_g1为O_g1转角振动位移；y_p2和z_p2分别为从动轮左端的两个假想半弧齿轮中心点O_p2在y向和z向的平移振动位移；ψ_p2为O_p2转角振动位移；y_g2和z_g2分别为从动轮左端的两个假想半弧齿轮中心点O_g2在y向和z向的平移振动位移；ψ_g2为O_g2转角振动位移。

忽略接触齿面间的摩擦和旋转件的偏心质量，基于牛顿第二定律，建立CHATT振动微分方程组：

$ \left\{ \begin{array}{l} {m_{p1}}{{\ddot y}_{p1}} + {c_{p1y}}{{\dot y}_{p1}} + {k_{p1y}}{y_{p1}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;{c_{py}}({{\dot y}_{p1}}-{{\dot y}_{p2}}) + {\rm{ }}{k_{py}}({y_{p1}}-{y_{p2}}) =-{F_{yp1}}, \\ {m_{p1}}{{\ddot z}_{p1}} + {c_{p12z}}({{\ddot z}_{p1}} + {{\dot z}_{p2}}) + {k_{p12z}}({z_{p1}} + {z_{p2}}) = - {F_{z1}}, \\ {I_{p1}}{{\ddot \psi }_{p1}} = - {F_{yp1}}{R_{p1}} - {F_{s1}}{R_{p1}} + {T_{p1}} + {c_1}{{\ddot \psi }_{p1}} + {k_1}{\psi _{p1}} \end{array} \right. $

(2)

$ \left\{ \begin{array}{l} {m_{g1}}{{\ddot y}_{g1}} + {c_{g1y}}{{\dot y}_{g1}} + {k_{g1y}}{y_{g1}} + {c_{gy}}({{\dot y}_{g1}}-{{\dot y}_{g2}}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k_{gy}}({y_{g1}}-{y_{g2}}) = {F_{yg1}}, \\ {m_{g1}}{{\ddot z}_{g1}} + {c_{g1z}}{{\dot z}_{g1}} + {k_{g1z}}{z_{g1}} + {c_{g12z}}({{\dot z}_{g1}} + {{\dot z}_{g2}}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k_{g12z}}({z_{g1}} + {z_{g2}}) = {F_{z1}}, \\ {I_{g1}}{{\ddot \psi }_{g1}} = {F_{yg1}}{R_{g1}} + {F_{s1}}{R_{g1}}-{T_{g1}} - {c_1}{{\ddot \psi }_{g1}} - {k_1}{\psi _{g1}} \end{array} \right. $

(3)

$ \left\{ \begin{array}{l} {m_{p2}}{{\ddot y}_{p2}} + {c_{p2y}}{{\dot y}_{p2}} + {k_{p2y}}{y_{p2}} + {\rm{ }}{c_{py}}({{\dot y}_{p2}}-{{\dot y}_{p1}}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k_{py}}({y_{p2}}-{y_{p1}}) =-{F_{yp2}}, \\ {m_{p2}}{{\ddot z}_{p2}} + {c_{p12z}}({{\dot z}_{p1}} + {{\dot z}_{p2}}) + {k_{p12z}}({z_{p1}} + {z_{p2}}) = - {F_{z2}}, \\ {I_{p2}}{{\ddot \psi }_{p2}} = - {F_{yp2}}{R_{p2}} - {F_{s2}}{R_{p2}} + {T_{p2}} + {c_2}{{\ddot \psi }_{p2}} + {k_2}{\psi _{p2}} \end{array} \right. $

(4)

$ \left\{ \begin{array}{l} {m_{g2}}{{\ddot y}_{g2}} + {c_{g2y}}{{\dot y}_{g2}} + {k_{g2y}}{y_{g2}} + {c_{gy}}({{\dot y}_{g2}}-{{\dot y}_{g1}}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k_{gy}}({y_{g2}}-{y_{g1}}) = {F_{yg2}}, \\ {m_{g2}}{{\ddot z}_{g2}} + {c_{g2z}}{{\dot z}_{g2}} + {k_{g2z}}{z_{g2}} + {c_{g12z}}({{\dot z}_{g1}} + {{\dot z}_{g2}}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k_{g12z}}({z_{g1}} + {z_{g2}}) = {F_{z2}}, \\ {I_{g2}}{{\ddot \psi }_{g2}} = {F_{yg2}}{R_{g2}} + {F_{s2}}{R_{g2}}-{T_{g2}} - {c_2}{{\ddot \psi }_{g2}} - {k_2}{\psi _{g2}} \end{array} \right. $

(5)

式中：m_p1和I_p1，m_p2和I_p2，m_g1和I_g1，m_g2和I_g2分别为主动轮和从动轮的质量及转动惯量的一半；R_p1、R_p2、R_g1、R_g2为主动轮和从动轮的分度圆半径；c₁和k₁, c₂和k₂为主动轮、从动轮左右两端齿轮副的扭转阻尼和刚度；c_p1y和k_p1y，c_p2y和k_p2y，c_g1y和k_g1y，c_g2y和k_g2y分别为传动轴轴承在中心点O_p1、O_p2、O_g1、O_g2的等效支撑阻尼和刚度；c_p12z和k_p12z，c_g12z和k_g12z为主动轮轴和从动轮轴间的拉伸或压缩阻尼与刚度；c_py和k_py，c_gy和k_gy为主动轮轴和从动轮轴的弯曲阻尼和刚度；c_g1z和k_g1z，c_g2z和k_g2z为齿轮轴的轴向等效平移振动阻尼和刚度；F_yp1、F_yp2、F_yg1、F_yg2、F_z1、F_z2分别为轮齿啮合切向及轴向动态啮合力，F_s1、F_s2为啮合冲击力激励；T_p1和T_p2，T_g1和T_g2为输入输出轴的等效扭矩。

切向动态啮合力计算式：

$ \begin{align} & {{F}_{yij}}={{k}_{yj}}[{{{\bar{y}}}_{pj}}-{{{\bar{y}}}_{gj}}-{{e}_{yj}}]+{{c}_{yj}}[{{{\dot{\bar{y}}}}_{pj}}-{{{\dot{\bar{y}}}}_{gj}}-{{{\dot{\bar{e}}}}_{yj}}]+ \\ & {{\left( -1 \right)}^{s+1}}\left[ {{k}_{ix}}\left( {{\psi }_{i1}}-{{\psi }_{i2}} \right)+{{c}_{ix}}\left( {{{\dot{\psi }}}_{i1}}-{{{\dot{\psi }}}_{i2}} \right) \right] \\ \end{align} $

(6)

轴向动态啮合力计算式：

$ \begin{align} & {{F}_{zj}}={{k}_{zj}}\left[ {{{\bar{z}}}_{pj}}-{{{\bar{z}}}_{gj}}-{{e}_{zj}} \right]+{{c}_{zj}}\left[ {{{\dot{\bar{z}}}}_{pj}}-{{{\dot{\bar{z}}}}_{gj}}-{{{\dot{\bar{e}}}}_{yj}} \right]+ \\ & \left( -1 \right)j\left[ {{k}_{zj}}{{z}_{e}}+{{c}_{zj}}{{{\dot{z}}}_{e}} \right] \\ \end{align} $

(7)

式中：i=p, g；j=1, 2；k_yj和k_zj分别为左右两端假想半弧齿轮副切向和轴向的啮合刚度；c_yj和c_zj分别为左右端假想半弧齿轮副切向和轴向的啮合阻尼；e_yj和e_zj分别为切向和轴向啮合误差；k_px和k_gx分别为小齿轮轴和大齿轮轴的扭转刚度；c_px和c_gx分别为小齿轮轴和大齿轮轴的扭转阻尼；z_e为通过CHATT承载接触分析得到的低转速下的轴向位移。

由几何位置分析得到O_p1、O_g1和O_p2、O_g2点的振动位移与主、从动轮广义位移间的关系：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\bar y}_{pi}} = {y_{pi}} + {\psi _{pi}}{R_{pi}}, \\ {{\bar y}_{gi}} = {y_{gi}} + {\psi _{gi}}{R_{gi}}, \\ {{\bar z}_{pi}} = {z_{pi}}-{{\bar y}_{pi}}{\rm{tan}}\theta, \\ {{\bar z}_{gi}} = {z_{gi}}-{{\bar y}_{gi}}{\rm{tan}}\theta \end{array} \right. $

(8)

那么沿啮合线啮合点间的相对位移λ_i(i=1, 2) 表示为：

$ {\lambda _i} = {{\bar y}_{pi}}-{{\bar y}_{gi}}-{e_{yi}} $

(9)

左右端轮齿扭转角相对差γ_j(j=p, g) 表示为：

$ {\gamma _j} = {\psi _{j1}}-{\psi _{j2}} $

(10)

定义量纲时间t=τω_n，给定位移标称尺度b_c，将CHATT系统的振动微分方程组进行量纲归一化处理，具体方法参阅文献^[22-23]。

3 振动模型的求解与分析

本研究中CHATT的参数如表 1所示，利用其啮合特性的结果得到轮齿啮合综合刚度、单对轮齿啮合刚度和低转速下长周期内的轴向位移，并根据冲击模型计算得到圆弧齿线齿轮啮入冲击激励。采用变步长四阶Runge-Kutta对量纲化后的CHATT振动微分方程组进行求解，研究其振动特性。

以主动轮为例分析，图 7为主动轮振动位移和速度相图及Poincaré截面。图 7(a)、(c)、(e) 表明3个方向的振动从开始至趋于稳定后，相图逐渐演化成重复闭合环形曲线; 竖直和扭转振动相图比轴向振动相图更有规律性，轴向运动更复杂; 轴向振动相图逐渐形成类心型闭合曲面和不规则椭圆闭合曲面相互交叉循环扩展的现象，说明轴向振动处于稳态响应的近混沌状态。图 7(b)、(d)、(f) 中3个Poincaré截面上的每一个点都可以在各自相图曲线上一一对应。竖直和扭转方向的Poincaré截面呈现一个环形分布的散点；轴向的Poincaré截面为具有分形性质和一定方向性的密集点，表明轴向振动处于稳态响应的近混沌状态。竖直和扭转振动的Poincaré截面比轴向的更有规律性，与对应相图分析的结果一致。

求得主动轮振动位移、速度响应后，依据支撑轴承的刚度和阻尼系数，可计算出轴承弹性力和黏性力，再由二者之和得到轴承动载荷。图 8为主动轮轴承竖直和轴向动载荷。由图 8可知：两者都在4 ms以后趋于稳定，振动幅值分别为200、32 N，远小于该轴承的基本负荷动态额定值。轴向动载荷较小，体现出CHATT工作过程中轴向作用分力小的优势。

求得主动轮振动位移、速度响应、轴承动载荷、齿轮啮合力后，再代入CHATT系统的原振动微分方程组，计算得到主动轮竖直、轴向和扭转3个方向的振动加速度响应。图 9为CHATT系统达到工作稳态时主动轮竖直、轴向和扭转3个方向振动加速度及幅值谱，由图 9(a)、(c)、(e) 可知:竖直振动加速度幅值为26 m/s²，轴向振动加速度幅值为39 m/s²，扭转振动角加速度幅值为1 260 rad/s²，3个方向的振动加速度都在4 ms后趋于稳定。比较主动轮3个方向的振动加速度情况，竖直和扭转振动要比轴向振动平缓，振动更有规律性。由振动加速度响应幅值谱图 9(b)、(d)可知，2 000 Hz波段以内的竖直和轴向振动速度幅值谱的峰值较丰富，频率成分比较复杂，其中竖直、轴向振动加速度峰值所处频率分别是718.8、726.6 Hz，与啮合频率720 Hz接近。

4 参数对耦合系统振动特性的影响分析

变双曲圆弧齿线圆柱齿轮系统的振动特性比常规线性系统复杂，外在因素和内部参数的变化对系统的振动特性有重要影响。由于CHATT常工作在高速和重载的情况下，以第3节模型作为计算基础，主要考虑齿线半径、负载转矩和输入转速对系统振动特性的影响，探寻这3个主要参数变化对系统的影响规律，为预测不同参数下CHATT系统的振动响应趋势提供一定的理论依据。

对齿线半径、负载转矩和输入转速3个参数分别完成3组不同取值的仿真计算，具体条件如下：齿线半径分别为114.3、190.5、406.4 mm；负载转矩分别为1、2、3 kN；输入转速分别为1 000、2 000、3 000 r/min。

由于CHATT齿线半径的变化导致齿轮接触线长度发生改变，齿轮受载后的接触变形与受力分布随无发生变化。依据实际加工中刀盘的半径，选取齿线半径R为114.3、190.5、406.4 mm的CHATT，取对应的平均啮合刚度进行原微分方程组求解，分析其振动特性。CHATT的其他参数值保持一致。通过承载接触分析得到如图 10所示的CHATT平均啮合刚度随齿线半径值改变而变化曲线，本文研究的CHATT模型的平均啮合刚度存在先变小后变大的趋势。

由图 10可知，仿真计算3组不同齿线半径CHATT的平均啮合刚度值如表 2所示。

不同参数条件下仿真得到的相图规律，与图 7中3个方向的运动规律相似，故不再重复给出相图，只对仿真结果加以说明。

通过仿真计算3组不同的刚度得到以下结果：随着啮合刚度增大，主动轮与从动轮的竖直、轴向两个方向的振动位移逐渐变大，轴向振动速度逐渐变大；在主动轮与从动轮的竖直和扭转振动中，啮合刚度小幅度的增加，运动趋势基本保持不变，仍然继续做周期性的振动；主动轮与从动轮的轴向振动规律性逐渐变差，从周期运动向近混沌运动演变，表明啮合刚度的变化对CHATT的轴向运动规律影响较大。

通过仿真计算3组不同负载转换对系统振动特性的影响得到以下结果：随着负载转矩增大，主动轮与从动轮的竖直、轴向和扭转3个方向的振动位移和振动速度整体上都是逐渐变大；竖直和扭转的方向上仍然继续做周期性的振动；主动轮与从动轮的轴向振动的规律性较差，轴向振动从多周期运动向近混沌运动演变，表明负载转矩的变化对CHATT的轴向运动规律影响较大。

通过仿真计算3组输入转速对系统振动特性的影响得到以下结果：随着输入转速增大，主动轮与从动轮的竖直、轴向和扭转3个方向的振动位移和振动速度都只是小幅度变大；在主动轮与从动轮的竖直、轴向和扭转振动中，运动趋势基本保持不变，竖直和扭转的方向上继续做周期性的振动；主动轮与从动轮的轴向振动的规律性较差，从多周期运动向近混沌运动演变，输入转速的变化对CHATT的轴向运动规律影响较大。

5 结论

1) 通过CHATT齿轮副承载接触分析，计算引起齿轮系统振动的主要内部激励。基于集中参数理论和牛顿第二定律建立CHATT的12自由度弯扭轴的多因素耦合振动模型以及振动微分方程组，对其系统的振动特性进行仿真分析。

2) 基于文中建立的振动模型，分析主动轮与从动轮的竖直、扭转和轴向3个方向的振动特性。仿真数据表明，主动轮和从动轮在竖直和扭转方向上的运动平稳性比轴向好，为后续动态设计和降噪提供理论依据。

3) 进一步研究齿线半径、负载转矩和输入转速等3个参数变化对系统振动特性的影响规律。结果表明，轴向振动的规律性更容易受到上述3个参数变化的影响，为预测不同参数下CHATT系统的振动响应趋势提供一定的理论依据。

4) 研究中忽略了摩擦、齿轮的偏心质量、支撑箱体的变形等因素，在后续建立更加精确的振动模型中应考虑这些参数的影响。