多参加权分数阶傅里叶变换（multiple parameters weighted-type fractional Fourier transform，MP-WFRFT）是在WFRFT基础上提出的一种新型信号处理手段，可使基带星座产生模糊、裂变特性，在一定程度上能提升系统的抗截获性能，应用于保密通信之中^[1–2]。WFRFT由Shih于1995年提出^[3]，因其具有良好的时频域分布特性^[4]及参数设计灵活的特点，能与传统单载波（single carrier，SC）与多载波（multi-carrier，MC）载波体制相兼容，已成为载波体制发展中的一个重要研究方向^[5]。文献[6–7]基于传统FRFT的数学理论推导指出WFRFT加权系数内含周期性，为MP-WFRFT变换特性进一步研究奠定了坚实基础；文献[8–9]以4QAM基带调制方式为例，对基于MP-WFRFT变换的基带星座裂变规律进行初步探索，分析了星座裂变的基本机制及可能的星座裂变图案，但对具体星座裂变点数及底层裂变机理仍不明确；文献[10–12]进一步探索在4QAM基带调制条件下，将MP-WFRFT与其他加密手段结合，以提升通信系统安全的可行性，但缺乏基于MP-WFRFT通信系统的定量参数设计及相应优化准则。此外，文献[8–12]都仅针对4QAM基带信号经MP-WFRFT处理后星座裂变成16QAM的基本情况进行了探索，对基带调制阶数大于4的情况并没有涉及。

基于此，作者拟对基于MP-WFRFT的8PSK基带星座裂变规律进行探究，通过对其时域、频域分量定性、定量分析，从向量合成角度建立星座裂变的几何分析模型，可实现时域分量星座点裂变规律的精确描述；结合频域分量类高斯噪声特性的定量研究，搭建基于MP-WFRFT的通信系统，并建立优化模型以实现最终的优化求解。

1 基本原理

经典的4项WFRFT（4-WFRFT）只包含一个参数，即WFRFT调制阶数 $\alpha $ 。文献[5]已证明通过对 $\alpha $ 的灵活设定，可使基于4-WFRFT的通信系统工作于SC与MC之间的中间状态，即混合载波（hybrid carrier，HC）系统状态。因而本文提及的MP-WFRFT也是以4-WFRFT为基础展开研究，即加权项也为4项。MP-WFRFT相对于经典4-WFRFT的主要区别在于加权系数的设计上，综合考虑了其自身的周期特性，从而使得变换参数由单一 $\alpha $ 变为 $[{{V}},\alpha ]$ ，其中 ${{V}}$ 为与加权系数周期相关的整数向量。对于输入序列 ${{{x}}_0} = [{x_0},{{x}_{\rm{1}}}, \cdots ,$ ${x_N}_{ - {\rm{1}}}]^{\rm T}$ ，其1、2、3次归一化离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）相应为 ${{{x}}_1}$ 、 ${{{x}}_2}$ 、 ${{{x}}_3}$ ，则 ${{{x}}_{\rm{1}}} = {{{Fx}}_0}$ 、 ${{{x}}_{\rm{2}}} = {{{F}}^{\rm{2}}}{{{x}}_0}$ 、 ${{{x}}_{\rm{3}}} = {{{F}}^{\rm{3}}}{{{x}}_0}$ ， ${{F}}$ 为归一化DFT矩阵，其表达式为^[13]：

${ F} = \frac{1}{{\sqrt N }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1& \cdots &1 \\ 1&{{\xi ^{1 \cdot 1}}}&{{\xi ^{1 \cdot 2}}}& \cdots &{{\xi ^{1 \cdot (N - 1)}}} \\ 1&{{\xi ^{2 \cdot 1}}}&{{\xi ^{2 \cdot 2}}}& \cdots &{{\xi ^{2(N - 1)}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1&{{\xi ^{(N - 1) \cdot 1}}}&{{\xi ^{(N - 1) \cdot 2}}}& \cdots &{{\xi ^{(N - 1)(N - 1)}}} \end{array}} \right]$

(1)

式中， $\xi = {{\rm{e}}^{ - {\rm j}2{\text{π}} /N}}$ 。

${{{x}}_0}$ 的MP-WFRFT变换可表示为：

$\begin{aligned}[b] { W}_{{V}}^\alpha ({{{x}}_0}) = &{\omega _0}({{V}},\alpha ){{{x}}_0} + {\omega _1}({{V}},\alpha ){{{x}}_1} + \\ &{\omega _2}({{V}},\alpha ){{{x}}_2} + {\omega _3}({{V}},\alpha ){{{x}}_3}\end{aligned} $

(2)

式中： $\alpha $ 为调制阶数，取值范围是[0，4)； ${{V}}$ 为由周期性推导得出的8个整数参数，且 ${{V}} = [{{MV}},{{NV}}]$ ， ${{MV}} = [{m_{\rm{1}}},$ ${m_{\rm{2}}},{m_{\rm{3}}},{m_{\rm{4}}}]$ ， ${{NV}} = [{n_1},{n_2},{n_3},{n_4}]$ 。加权系数 ${\omega _l}\left( {{{V}},\alpha } \right),l =$ $ 0,1,2,3$ 可表示为^[14]：

${\omega _l}({{V}},\alpha ) = \frac{1}{4}\sum\limits_{k = 0}^3 {\exp \left\{ {\frac{{{\rm j}2{\text{π}}}}{4}\left[ {\alpha \left( {4{m_k} + 1} \right)\left( {4{n_k} + k} \right) - lk} \right]} \right\}} $

(3)

考虑到实际处理过程多以矩阵形式展开，且DFT矩阵具有如下特性： ${{{F}}^0} = {{I}}$ 、 ${{{F}}^{\rm{2}}} = {{P}}$ 、 ${{{F}}^{\rm{3}}} = {{{F}}^{ - {\rm{1}}}}$ ， ${{I}}$ 为单位阵， ${{{F}}^{ - {\rm{1}}}}$ 为归一化的DFT逆变换矩阵， ${{P}}$ 为移位矩阵（对长度为 $N$ 的序列，首位保持不变，后 $N - {\rm{1}}$ 位进行逆序排列）。进而，式（2）可改写为：

$ \begin{aligned}[b]{{W}}_{{V}}^\alpha ({{{x}}_0}) = & ({\omega _0}({{V}},\alpha ){{I}} + {\omega _1}({{V}},\alpha ){{F}} + \\& {\omega _2}({{V}},\alpha ){{P}} + {\omega _3}({{V}},\alpha ){{PF}}){{{x}}_0} \end{aligned} $

(4)

由式（4）可推导出基于MP-WFRFT的混合载波通信系统基本实现形式，其物理实现结构如图1所示^[5]：

图1中，当 $\alpha = 0$ 时，只有 ${{{x}}_0}$ 项，HC系统退化为SC系统，此时系统工作在时域模式；当 $\alpha = 1$ 时，发射部分实际采用阶数为 $ - \alpha $ ，HC系统转化为只含 ${{{x}}_3}$ 项的正交频分复用（orthogonal frequency division multiplexing，OFDM）系统，此时系统工作在频域模式。当HC调制阶数 $\alpha $ 取2与3时，具有与上述类似的性质。当HC调制阶数 $\alpha $ 取[0，4）之间的非整数时，系统对应工作在混合载波状态，即对应于时、频域模式。对式（2）～（4）及图1分析可知，MP-WFRFT通过对参数 $[{{V}},\alpha ]$ 的合理设计以影响加权系数 ${\omega _l}\left( {{{V}},\alpha } \right)$ 的取值，进而影响最终的星座分布特性。

2 星座裂变分析 2.1 星座裂变函数

关于图1及式（4）展示的MP-WFRFT处理过程，目前主要开展如下两方面研究：从频域项（ ${{{x}}_1}$ 和 ${{{x}}_3}$ ）对类高斯特性展开研究；从时域项（ ${{{x}}_0}$ 和 ${{{x}}_2}$ ）对基带星座的裂变特性展开研究。

式（4）中， ${{F}}$ 与 ${{{F}}^{ - {\rm{1}}}}$ 都为线性变换，根据统计学中心极限定理可知，当多个分布特性相同的随机变量线性组合时，其合成的随机变量具有类高斯特性^[15–16]。从而 ${{{x}}_1}$ 、 ${{{x}}_3}$ 的最终组合项 ${\omega _1}({{V}},\alpha ){{{x}}_1} + {\omega _3}({{V}},\alpha ){{{x}}_3}$ 的模值大小直接反映类高斯噪声功率大小。与利用模值定量分析类高斯特性不同，进行时域项（ ${{{x}}_0}$ 和 ${{{x}}_2}$ ）合成时，原始数据的不确定性及加权系数 ${\omega _0}({{V}},\alpha )$ 、 ${\omega _2}({{V}},\alpha )$ 的多变性，最终在进行向量合成时，时域项将表现极其丰富的组合样式。将这种时域项合成过程归结为原始基带信号星座的星座裂变。关于星座裂变表现出的丰富组合特性及设计规则，也正是本文重点研究所在。

为更加直观地研究式（4）中时域组合项特性，定义星座裂变函数：

$T_{{V}}^\alpha ({{{x}}_0}) = {\omega _0}({{V}},\alpha ){{{x}}_0} + {\omega _2}({{V}},\alpha ){{{x}}_2}$

(5)

式中， ${{{x}}_0}$ 为原始基带信号，且由图1可知 ${{{x}}_2} = {{{Px}}_0}$ ，因而可将 ${{{x}}_2}$ 看作与 ${{{x}}_0}$ 相互独立的基带信号。再由式（3）可知加权系数 ${\omega _l}({{V}},\alpha )$ 为复数，从而式（5）中星座裂变函数实际上为两个复序列（ ${{{x}}_0}$ 与 ${{{x}}_2}$ ）的复数加权求和，从而最终式（5）对应函数取值为复平面（ $X - Y$ 平面）的离散点，即最终的星座合成点。

一般而言， ${{{x}}_0}$ 与 ${{{x}}_2}$ 对应的基带星座点在复平面上相对固定，而不同MP-WFRFT参数 $[{{V}},\alpha ]$ 对应不同的加权系数 ${\omega _l}({{V}},\alpha )$ ，对应式（5）产生不同的星座合成点，进而可以实现有效的星座伪装，提升系统的抗截获特性。同时，为描述简洁，在下文描述中，一律省略 ${\omega _l}({{V}},\alpha )$ 中的向量 $({{V}},\alpha )$ 标志而直接利用 ${\omega _l}$ 简化表示。

2.2 星座几何模型

由于本文以8PSK作为基带信号基本样式，当将 ${\omega _0}$ 、 ${\omega _2}$ 作为参考基准，在 $[{{V}},\alpha ]$ 确定之后， ${\omega _0}$ 、 ${\omega _2}$ 也相应唯一确定，此时 ${{{x}}_0}$ 、 ${{{x}}_2}$ 作为8PSK调制的基本元素，分别有8种选择可能（取值为 ${{\rm{e}}^{{-{\rm j} 2}{\text{π}} n/8}},n = 0,{\rm{ 1}}, \cdots ,{\rm{ 7}}$ ）。

根据排列组合基本知识可推知此时最多可形成 ${\rm{8}} \times {\rm{8}} = {\rm{64}}$ 种不同的数据点。由式（5）表现星座的裂变特性，则理论上的8PSK最多可以裂变成为64点的新型星座图案。考虑到当前已有基带星座都具有关于 $X$ 、 $Y$ 轴对称的性质，在对式（5）基本星座裂变样式探究之后发现当 ${\omega _0}$ 与 ${\omega _{\rm{2}}}$ 满足垂直关系时，可以很好地实现新型裂变星座关于 $X$ 、 $Y$ 轴对称的特性。因而下文研究均以 ${\omega _0} \bot {\omega _{\rm{2}}}$ 为基本前提。由式（5）及上文中星座裂变的分析思路，构建如图2所示的星座裂变几何图。

${\omega _0}$ 与 ${\omega _{\rm{2}}}$ 作为两个基准参数，分别与 $Y$ 、 $X$ 轴正方向重合。对于星座裂变的64种不同组合，可进行如下8类分组：分组1） ${{{x}}_0}$ 与 ${{{x}}_2}$ 相位差为0，对应有8个点；分组2） ${{{x}}_0}$ 与 ${{{x}}_2}$ 相位差为 ${\text{π}} /{\rm{4}}$ ，对应有8个点； $\cdots$ ；分组8） ${{{x}}_0}$ 与 ${{{x}}_2}$ 相位差为 ${\rm{7}}{\text{π}} /{\rm{8}}$ ，对应有8个点。

以分组1）为例，当 ${{{x}}_0}$ 和 $ {{{x}}_2}$ 中的元素为 ${{\rm{e}}^{ - {\rm{j2{\text{π}} 0/8}}}}$ 时，如图2所示，此时 ${\omega _0}$ 与 ${\omega _{\rm{2}}}$ 合成向量为 $\omega '$ ，对应可以得到星座点 ${P_0}$ ，其在极座标下表示为： ${P_0}(|\omega '|,\theta )$ ， $\theta $ 为 $\omega '$ 与 $X$ 轴正向的夹角 $\left\langle {\omega '} \right\rangle $ ；当 ${{{x}}_0}$ 和 $ {{{x}}_2} $ 中的元素为 ${{\rm{e}}^{ - {{\rm j2}}{\text{π}} 1/{\rm{8}}}}$ 时，此时相当于 ${\omega _0}$ 与 ${\omega _{\rm{2}}}$ 同时逆时针旋转 ${\text{π}} /{\rm{4}}$ 的角度，从而可以得到星座点 ${P_{\rm{1}}}$ ，同理可以依次得到其余的6个星座点 ${P_{\rm{2}}}\sim {P_{\rm{7}}}$ 。由图2可知，对于分组1），形成的8个星座点均匀分布在以原点为圆心，以 ${\omega _0}$ 与 ${\omega _2}$ 合成向量 $\omega '$ 模值为半径的圆上。

对于分组2）、3）、 $ \cdots$ 、7），根据分组规则，将分组1）中的 ${\omega _0}$ 与定义为0号基准线，此时保持 ${\omega _2}$ 位置不变，使0号基准线依次逆时针旋转 ${\text{π}} /{\rm{4}}{\text{、}}\!\!{\rm{2}}{\text{π}} /{\rm{4}}{\text{、}}\!\! \cdots {\text{、}}\!\!$ ${\rm{7}}{\text{π}} /{\rm{4}}$ ，分别形成1、2、 $\cdots $ 、7号基准线对应的 ${\omega _0}$ 。按照分组1）的星座裂变分析方法，对于每个分组依次可以类推另外7个以原点为圆心的同心圆，从而实现了最多64个星座点的裂变。

此外，结合分组1）研究可知，形成的8个星座点所对应圆的半径为 ${\omega _0}$ 与 ${\omega _2}$ 合成向量为 $\omega '$ 的模值 $|\omega '|$ 。从而，由图2可知，5号基准线与7号基准线分别与 ${\omega _{\rm{2}}}$ 合成的向量关于 $X$ 轴对称，即合成向量的模值相等，从而5号基准线对应的8个星座点与7号基准线对应的8个星座点必定在同一圆上。当合成向量 $\omega '$ 与 $X$ 轴的夹角 $\theta $ 满足某一定量关系时，可使5号基准线对应的8个星座点与7号基准线对应的8个星座点完全重合，这就为星座点重合提供了一种重要研究思路。同时，图2中1号和3号基准线、0号和4号基准线也具有这样的分布特性。合成向量的夹角 $\theta $ 取值与基准向量 ${\omega _0}$ 、 ${\omega _2}$ 模值比 $\lambda = (|{\omega _0}|/|{\omega _{\rm{2}}}|)$ 直接相关。因而，下面针对 $|{\omega _0}|/|{\omega _{\rm{2}}}|$ 的不同取值分析基于MP-WFRFT的8PSK星座裂变规律。

2.3 裂变样式分类

如图3所示， ${\theta _1}$ 、 ${\theta _2}$ 、 ${\theta _3}$ 分别表示0、7、1号基准向量分别与 ${\omega _2}$ 基准向量的合成向量与 $X$ 轴夹角。在图3（a）中，由于同一圆上的8个星座点中两个星座点的夹角为 ${\text{π}} /{\rm{4}}$ ，因而当 ${\rm{2}}{\theta _{\rm{1}}} = k{\text{π}} /{\rm{4}},k = 0,{\rm{ 1}},{\rm{ 2}}, \cdots $ ，可使0号基准线与4号基准线分别对应的8个星座点完全重合。结合图3（a）中的 ${\theta _{\rm{1}}}$ 实际情况 $\left( {0 \le {\theta _{\rm{1}}} \le {\text{π}} /{\rm{2}}} \right)$ ， ${\theta _{\rm{1}}}$ 可能取值为 $0{\text{、}}\!\!{\text{π}} /{\rm{8}}{\text{、}}\!\!{\rm{ 2}}{\text{π}} /{\rm{8}}{\text{、}}\!\!{\rm{ 3}}{\text{π}} /{\rm{8}}{\text{、}}\!\!{\rm{ 4}}{\text{π}} /{\rm{8}}$ ，由正切定理知 $|{\omega _0}|/|{\omega _{\rm{2}}}| = $ ${\rm{tan}} {{\theta _{\rm{1}}}}$ ，从而反映在基准向量 ${\omega _0}$ 、 ${\omega _2}$ 模值比值 $\lambda $ 上， $\lambda $ 取值分别为 $0{\text{、}}\!\!{\rm{ tan}}({{\text{π}} /{\rm{8}}}){\text{、}}{\rm{ tan}} ({{\rm{2}}{\text{π}} /{\rm{8}}})\; {\text{、}}\!\!{\rm{1}}/{\rm{tan}}\left( {{\text{π}} /{\rm{8}}} \right){\text{、}}\!\!\infty $ 。

同理对于图3（b），为满足星座重合的条件， ${\rm{2}}{\theta _2} =$ $ k{\text{π}} /4,k = 0, 1,2, \cdots $ ，且 $0 \le {\theta _{\rm{2}}} \le {\text{π}} /4$ ， ${\theta _2}$ 可能取值 $0{\text{、}}\!\!{\text{π}}/8{\text{、}}$ ${2\text{π}}/8$ ，结合正弦定理得 $|{\omega _0}|/|{\omega _2}| = {\rm{sin}}\;{{\theta _2}}/{\rm{sin}}\left( {{\text{π}} /4 - {\theta _2}} \right)$ ，从而反映在基准向量 ${\omega _0}$ 、 ${\omega _2}$ 模值比值 $\lambda $ 上， $\lambda $ 分别取值为 ${\rm{sin}} \;0/{\rm{sin}} ({{\text{π}} /{\rm{4}}}) = 0$ ， ${\rm{sin}}({{\text{π}} /8}) /{\rm{sin}}({{\text{π}} /8}) = {\rm{1}}$ ， ${\rm{sin}}({{\text{π}} /{\rm{4}}})/ $ ${\rm{sin}}\;0 = \infty$ ；同理对于图3（c），为满足星座重合的条件， ${\rm{2}}{\theta _{\rm{3}}} =$ $ k{\text{π}} /{\rm{4}},k = 0,{\rm{ 1}},{\rm{ 2}}, \cdots $ ，且 $0 \le {\theta _{\rm{3}}} \le {\rm{3}}{\text{π}} /{\rm{4}}$ ，则 ${\theta _{\rm{3}}}$ 可能取值为0、 ${\text{π}} /{\rm{8}}$ 、 ${\rm{2}}{\text{π}} /{\rm{8}}$ 、 ${\rm{3}}{\text{π}} /{\rm{8}}$ 、 ${\rm{4}}{\text{π}} /{\rm{8}}$ 、 ${\rm{5}}{\text{π}} /{\rm{8}}$ 、 ${\rm{6}}{\text{π}} /{\rm{8}}$ ，结合正弦定理得 $|{\omega _0}|/|{\omega _{\rm{2}}}| = {\rm{sin}}\;{\theta _{\rm{3}}}/{\rm{sin(3}}{\text{π}} /{\rm{4}} - {\theta _{\rm{3}}}{\rm{)}}$ ，反映在基准向量 ${\omega _0}$ 、 ${\omega _2}$ 模值比 $\lambda $ 上， $\lambda $ 取值分别为0、 ${\rm{tan}}({\text{π}} /8)$ 、 $\sqrt 2 /2$ 、1、 $\sqrt 2 $ 、 ${\rm{1/tan(}}{\text{π}} /{\rm{8)}}$ 、 $\infty $ 。

结合上述分析可知，当 $\lambda = |{\omega _0}|/|{\omega _{\rm{2}}}| = 0{\text{、}}\infty $ 时， ${\omega _0} = 0$ ，星座裂变只受 ${\omega _{\rm{2}}}$ 影响，此时星座退化为传统的8PSK星座；当 $\lambda = {\rm{ tan}}({{\text{π}} /{\rm{8}}}){\text{、}}{\rm{1}}/{\rm{tan}}({{\text{π}} /{\rm{8}}}) $ ，图3（a）、（b）都会出现星座重合，因而此时星座点由64减少为48个；当 $\lambda = \sqrt 2 /2{\text{、}}\sqrt 2 $ 时，只有1号和3号基准线对应的8个星座点重合，此时星座点由64个减少为56个；当 $\lambda$ =1时，图3（a）、（b）、（c）都会出现星座重合，同时考虑到2号基准线与 ${\omega _{\rm{2}}}$ 等模长且反向，此时二者合成图为一个中心原点，因而最终的星座裂变点数为 ${\rm{64}} - {\rm{4}} \times {\rm{8}} + {\rm{1}} = {\rm{33}}$ 。

3 系统优化设计

通过第2节中关于8PSK星座裂变机理分析，搭建了基于MP-WFRFT的8PSK星座裂变系统，如图4所示。

在收发系统中，参数 $[{{V}},\alpha ]$ 由模糊控制及星座点数共同决定。在发射、接收端各加入一相位旋转与相位校准模块，主要考虑到实际设计过程不能确保图2、3所示的0号基准线 ${\omega _0}$ 刚好与坐标轴平行或垂直，因而为了获得分布更为均匀且对称的星座裂变效果，需根据实际0号基准线 ${\omega _0}$ 的初始相位 $\varphi (\varphi = \left\langle {{\omega _0}(\alpha )} \right\rangle)$ 进行发射端预旋转和接收端相位校准，且根据8PSK的相邻星座点相角差为 ${\text{π}} /{\rm{4}}$ ，因而实际校正的相位大小取值为 ${\rm{mod(}}\varphi ,{\text{π}} /{\rm{4)}}$ ，mod表示取模运算。

为使图4中基于MP-WFRFT星座的裂变系统具有较好的保密通信性能，一方面通过设计合成星座点数（8、33、48、56、64点）进行星座伪装，另一方面通过模糊控制合理加入类高斯噪声，进而增强系统整体的抗截获性能。同时，根据第2节星座裂变分析可知模糊控制由式（4）中频域合成量 ${\omega _1}{{{x}}_1} + {\omega _3}{{{x}}_3}$ 的模值决定；星座点数由 ${\omega _0}$ 与 ${\omega _{\rm{2}}}$ 的模值比 $\lambda $ 确定。且考虑到图2、3中星座裂变研究是建立在 ${\omega _0} \bot {\omega _{\rm{2}}}$ 的基础上，因而搭建系统优化模型为：

$\left\{ \begin{array}{l} \min \;f({{V}},\alpha ) = \sqrt {{{\left| {\left| {{\omega _0}} \right| - \lambda \left| {{\omega _2}} \right|} \right|}^2}} , \\ {\rm s}.{\rm t}.\;\;\max \{ \left| {{\omega _1}} \right|,\left| {{\omega _3}} \right|\} < \delta ; \\ \;\;\;\;\;\;\left| {{\omega _0} \cdot {\omega _2}} \right| \le \varepsilon ; \\ \;\;\;\;\;\;{{V}}{\rm{ = [}}{{MV}}{\rm{,}}{{NV}}{\rm{];}} \\ \;\;\;\;\;{{MV}} = \left[ {{m_0},{m_1},{m_2},{m_3}} \right]; \\ \;\;\;\;\;{{NV}} = \left[ {{n_0},{n_1},{n_2},{n_3}} \right]; \\ \;\;\;\;\;\;0 \le {m_i}{\rm{,}}{n_i} \le U{\rm{,}}i{\rm{ = }}0{\rm{,}}1{\rm{,2,3;}}\; \\ \;\;\;\;\;\;\alpha \in [0,Q),Q \le 4 \\ \end{array} \right.$

(6)

式中： ${\omega _l}$ 中， $l = 0,1,2,3$ 与式（3）对应； $\delta $ 为模糊约束量，其取值越小，对应限定星座变化的类高斯分量越小； $\varepsilon $ 对应表示向量的 ${\omega _0}$ 与 ${\omega _2}$ 的夹角约束，一般取一个较小值，如 $\varepsilon = {\rm{1}}{0^{ - {\rm{3}}}}$ ，即可保证垂直关系；关于边界设置，MP-WFRFT的调制阶数 $\alpha $ 最大为 $Q$ ，根据周期性知， $Q \le {\rm{4}}$ ， $\alpha $ 取值为实数； ${{V}}$ 的边界约束为 $U$ ，且 ${{V}}$ 中元素取值为整数。通过上述约束条件，以 $\lambda $ 为变量控制目标函数，最终可实现图4中基于MP-WFRFT的8PSK星座裂变系统。

4 仿真测试

根据第2节中图2、3星座裂变规律分析，结合式（6）中的优化模型，对基于MP-WFRFT的8PSK星座裂变进行仿真验证，并对相关通信性能进行测试。在本仿真中，设置整数取值边界 $U = {\rm{2}}00$ ， $\alpha $ 的边界设置为 $Q = {\rm{1}}$ 。鉴于式（6）为一包含8个整数变量和一个实数变量的混合整数优化问题，虽然常规的分枝定界法能实现精确求解，但优化过程复杂且耗时；同时考虑到遗传算法（genetic algorithm，GA）基于生物遗传原理，进行智能搜索的复杂度相对较低，且能以90%的概率实现最优解^[17]。因而，本文采用MATLAB自带GA工具箱对式（6）进行优化求解，并设计其种群大小、迭代次数分别为1 000、500。

4.1 星座裂变图案

为更加清晰直观地验证图2～3中反映的星座裂变规律，对于式（6）中的模糊约束取值为 $\delta = 0.0{\rm{1}}$ ，由于MP-WFRFT是线性酉变换，且具有等模变换特性，则相应的时域项整体模值平方取值可设置为 ${\rm{(1}} - {\rm{2}}{\delta ^{\rm{2}}}{\rm{)}}$ ^[18]，则此时裂变星座以裂变特性为主，模糊性较弱。设定角度约束 $\varepsilon = {\rm{1}}{0^{ - {\rm{3}}}}$ 。根据第2节中知星座裂变点数与 $\lambda $ 对应关系，设置不同 $\lambda $ 取值得到星座裂变图（图5～6）。

由图5～6可知，第2节推导得出的关于 $|{\omega _0}|/|{\omega _{\rm{2}}}|$ 与星座裂变点数理论是正确的。同时，对比图5～6可知，当 $\lambda $ 取值互为倒数时，其星座裂变表现出相同的图案，这主要是因为作为时域项， ${\omega _0}{{{x}}_0}$ 与 ${\omega _{\rm{2}}}{{{x}}_{\rm{2}}}$ 具有同等的作用效果， $\lambda $ 取值互为倒数时相当于 ${\omega _0}{{{x}}_0}$ 与 ${\omega _{\rm{2}}}{{{x}}_{\rm{2}}}$ 位置互换，这样最终的星座裂变图案具有一致性。

对比观测图5～图6，可推出更为一般的结论：对于基于MP-WFRFT的8PSK基带星座裂变图样，星座点呈星形分布，且满足整体外圈星座点数多于内圈，这些都与APSK的星座设计准则相一致。同时，考虑到图2～3中基于MP-WFRFT基带星座裂变几何模型的一般性，对于其他PSK、QAM高阶基带信号具有相类似的分析思路，因而推之基于MP-WFRFT基带星座裂变图案具有类APSK的星形星座分布特性。

4.2 星座模糊特性

为进一步分析模糊变量设计对星座裂变图案的影响，设定模糊约束取值为 $\delta = 0.{\rm{3}}$ ，其余仿真条件与图6一致。分别设定 $\lambda = \sqrt 2 {\text{、}}\!\!100$ ，对式（6）重新优化计算，最终得到的星座裂变结果如图7所示。

对比图6与7，可以将图7（a）、（b）视为基于图6（b）、（d），增加了额外高斯噪声；当前场景下，实际信道噪声为0，这就体现了式（4）中频域分量表现出来的类高斯特性。进一步扩展，当模糊量控制在一定范围之内，可对星座进行有效高斯模糊保护，以提升其星座的抗能量检测性能。

4.3 抗截获性能

为进一步说明基于MP-WFRFT的星座裂变实用性，对其自身通信性能与非授权方通信性能进行对比仿真测试。

对比图6、7可知，图6（d）、7（b）两种情况下导致的原始星座变化相对最小，因而本次抗截获测试选取这两种情况下的误比特率（bit error rate，BER）结果进行对比。由GA优化得到的图6（d）、7（b）对应的MP-WFRFT参数组为 ${{ P}_{\rm ara1}}$ = [81,98,9,163,66,11,164,142,0.571 680]、 ${{ P}_{\rm ara2}}$ = [78,128,22,28,55,174,186,80,0.916 408]，且8PSK基带调制都采用了格雷映射。通信信道为加性高斯白噪声（additive white Gaussian noise，AWGN）信道，且信噪比E_b/N₀取值范围为[0，12] dB，最终BER对比测试结果如图8所示。

通过对比图8中曲线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ性能可知，对于参数组 ${{ P}_{\rm ara1}}$ 和 ${{ P}_{\rm ara2}}$ ，授权方的BER性能与理论8PSK一致。这主要是因为对授权方而言，收发双方的MP-WFRFT参数完全一致，即接收端MP-WFRFT参数仍为 ${{ P}_{\rm ara1}}$ （图8中Ⅱ）或 ${{ P}_{\rm ara2}}$ （图8中Ⅲ ），且考虑到MP-WFRFT线性酉变换特性，对信道中高斯噪声不会带来分布及均值、方差上的变化，因而基于MP-WFRFT的8PSK通信性能与理论8PSK基本无差异。观测曲线Ⅳ、Ⅴ，对非授权方而言，由于对MP-WFRFT的星座裂变模型未知，因而通过常规调制识别手段获取通信方式为8PSK方式，而不同参数组 ${{ P}_{\rm ara1}}$ 、 ${{ P}_{\rm ara2}}$ 条件下图4中初始相位旋转 ${\rm{mod(}}\left\langle {{\omega _0} } \right\rangle,{\text{π}} /{\rm{4)}}$ 及等效类高斯噪声分量都将对最终非授权方接收产生影响^[19]。

由图6（d）、7（b）星座图可知， ${{ P}_{\rm ara2}}$ 较 ${{ P}_{\rm ara1}}$ 将产生更多的类噪声分量，因而使得非授权方 BER性能更差。曲线Ⅳ、Ⅴ主要是MP-WFRFT变换产生类高斯噪声的角度分析非授权方的BER性能，当采用其他更为复杂的星座裂变图案时，结合不同裂变规则及初始旋转角度，可使得非授权方更难解调出原始基带信号，从而使得基于MP-WFRFT的基带预处理系统具有了更强的抗截获能力。

5 结束语

对MP-WFRFT变换中的8PSK基带星座裂变进行了定性与定量分析，得出MP-WFRFT系数的模值比（ $|{\omega _0}|/|{\omega _{\rm{2}}}|$ ）与最终星座裂变图案及裂变点数的关系。建立了基于MP-WFRFT的通信系统及相关优化模型，并采用遗传算法进行了优化求解。通过仿真测试论证基于MP-WFRFT的8PSK星座裂变理论的正确性；对误码率的测试对比表明，通过参数合理设计新型的星座图案可以在保持授权双方通信性能不变的情况下，有效降低非授权方的通信性能，从而提升自身的抗截获性能，并运用于保密通行之中。下一步将结合实际通信场景的星座设计需要，合理设定 $|{\omega _0}|/|{\omega _{\rm{2}}}|$ 及模糊控制量 $\delta $ 以进一步增强系统的实用性与安全性。