混合试验将结构的关键构件从整个结构中隔离出来作为试验子结构在试验室进行加载，其余部分则作为数值子结构进行数值建模分析。混合试验可满足大比例尺甚至足尺试件的要求，从而降低甚至消除尺寸效应的不利影响；且混合试验因试件数量较少而具有较高的经济性。因此，混合试验逐渐受到国内外学者的关注^[1–2]，成为研究结构抗震性能的重要方法之一。混合试验结果的准确性主要受逐步时间积分方法、作动器控制时滞以及数值子结构精度3方面因素影响^[3–5]。作者主要从提高数值子结构的精度出发来提高混合试验的可靠性。模型更新是在现有单元、本构模型和积分算法等条件下，在数值模型确立后，通过对本构模型参数的识别与更新来提数值子结构的精度^[6–8]。

土木工程领域，本构模型主要包括构件、截面和材料3个层次。构件本构模型描述的是结构构件（柱、梁等）的力–位移关系；截面本构模型描述的是截面弯矩、轴力–曲率的关系；材料本构模型表示的是材料应力–应变关系。目前，混合试验模型更新主要以构件本构模型为主，较少基于截面本构的模型更新^[9]。从广义上讲，构件本构模型应考虑构件的截面形状、截面尺寸、配筋率、配箍率、轴压比、边界条件等因素。从狭义上讲，构件本构模型可以描述单一构件的力–位移关系的模型。混合试验模型更新中应用较广泛的Bouc-Wen模型和双折线模型都属于狭义上的构件本构模型。模型更新的前提条件是数值子结构中待更新的本构模型与试验子结构的数值本构模型相同。若对狭义的构件本构模型进行更新，则要求二者具有相同的轴压比、边界条件、配箍率等因素。从另一个角度讲，当结构构件类型较多时，对试验子结构的数量提出了较高要求，以满足不同数值子结构构件更新的需求。截面本构模型更新也具有类似的问题，它受到截面类型等因素的约束。因此，就通用性而言，材料本构模型参数更新最为适宜。

目前，混合试验模型更新中应用较多的非线性、在线参数识别方法主要有扩展卡尔曼滤波法（EKF）和隐性卡尔曼滤波法（UKF）。经过学者大量的研究与应用发现，与EKF方法相比，UKF方法能较好地实现对强非线性系统的在线参数识别，并且识别精度比EKF更高^[6–8,10]。综上所述，梅竹等提出了一种基于UKF的材料本构模型参数的在线识别方法^[11]。

将文献[11]中的在线参数识别方法应用于混合试验模型更新中，完成了钢筋混凝土框架的模型更新混合试验。试验结果表明，材料本构模型参数识别方法有较好的表现；通过更新该参数能有效提高混合试验数值子结构的精度，从而提高混合试验的可靠性。

1 混凝土本构模型参数识别

尽管本研究关注的是混凝土本构模型参数的识别，但该方法同样可以应用于对其他材料本构模型参数的识别。

1.1 混凝土材料本构模型及参数敏感性

在土木工程领域，本构模型是描述广义力与广义变形关系的函数，表达式如下：

$F=f(D,{P})$

(1)

式中， $F$ 为广义力， $D$ 为广义位移， ${P}$ 为相关参数。梅竹等^[11]将参数 ${P}$ 划分为本构参数与非本构参数，获得了适用于混合试验模型更新的、约束与非约束混凝土本构方程的统一形式：

$\left\{ \begin{array}{l} \sigma = \left( {1 + {K_{{\rm{s1}}}}{\rho _{\rm{s}}}} \right){f_{{\rm{cu}}}} \cdot \left[ {\frac{{2\varepsilon }}{{\left( {1 + {K_{{\rm{s2}}}}{\rho _{\rm{s}}}} \right){\varepsilon _{0{\rm{u}}}}}}} \right.\left. { - {{\left( {\frac{\varepsilon }{{\left( {1 + {K_{{\rm{s2}}}}{\rho _{\rm{s}}}} \right){\varepsilon _{0{\rm{u}}}}}}} \right)}^2}} \right],\\ \sigma = (1 + {K_{{\rm{s1}}}} \cdot {\rho _{\rm{s}}}){f_{{\rm{cu}}}} + \frac{{\left( {{K_{\rm{c}}} - 1} \right)(1 + {K_{{\rm{s1}}}} \cdot {\rho _{\rm{s}}}){f_{{\rm{cu}}}}}}{{(1 + {K_{{\rm{s3}}}} \cdot {\rho _{\rm{s}}}){\varepsilon _{{\rm{du}}}} - (1 + {K_{{\rm{s2}}}} \cdot {\rho _{\rm{s}}}){\varepsilon _{{\rm{0u}}}}}} \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;{\mkern 1mu} \left[ {\varepsilon - \left( {1 + {K_{{\rm{s2}}}} \cdot {\rho _{\rm{s}}}} \right)} \right]{\varepsilon _{{\rm{0u}}}} \end{array} \right.$

(2)

为便于理解，可将式（2）简洁表示为：

$\sigma =g(\varepsilon ,{f_{{\rm{cu}}}},{\varepsilon _{{\rm{0u}}}},{\varepsilon _{{\rm{du}}}},{K_{\rm c}},{K_{{\rm{s1}}}},{K_{{\rm{s2}}}},{K_{\rm s3}},{\rho _{\rm{s}}})$

(3)

式中： $f_{\rm cu}$ 、 $\varepsilon $ _0u和 $\varepsilon $ _du为采用Kent-Park模型模拟非约束混凝土力学性能时使用的参数， $K_{\rm c}$ 、 $K_{\rm s1}$ 、 $K_{\rm s2}$ 和 $K_{\rm s3}$ 为约束混凝土与非约束混凝土参数之间的比例系数，这7个参数为本构参数； $\rho_{\rm s}$ 为非本构参数，代表钢筋混凝土构件的体积配箍率。

在所有参数中，最为敏感的3个本构参数 $f_{\rm cu}$ ， $\varepsilon_{\rm 0u}$ 和 $K_{\rm c}$ 为本次混合试验中识别与更新的对象。有关统一形式的混凝土本构模型和参数敏感性分析的详细内容请参见文献[11]。

1.2 基于OpenSees的UKF参数识别方法

卡尔曼滤波估计（KF）通过两个主要步骤实现对状态量的估计。首先，通过状态方程式（4）获得状态量x在第 $k$ 步的先验估计值：

${\hat x}_k^ - ={f_k}({\hat x}_{k - 1}^ + )$

(4)

式中，“-”表示先验估计，“+”表示后验估计。然后，通过式（5）获得x在第 $k$ 步的后验估计值：

${\hat x}_k^ + ={\hat x}_k^ - + {{K}_k}({{y}_k} - {{\hat y}_k})$

(5)

式中： ${K_k}$ 为卡尔曼增益； ${y_k}$ 为观测量, y_k在第k步的观测值； ${{\hat y}_k}$ 为第k步观测量的估计值，其通过观测方程（6）计算获得：

${{\hat y}_k}={h_k}({\hat x}_k^ - )$

对于线性系统（ ${f_k}$ 和 $h_k$ 为线性函数）状态估计问题，KF给出了 ${\hat x}_k^ - $ 、 ${{K}_k}$ 和 ${{\hat y}_k}$ 计算公式，但KF无法解决非线性系统（ $f_k$ 或 $h_k$ 为非线性函数）状态估计问题。因此，Julier^[12]提出了UT变化，也就是确定性的采样方法，计算 ${\hat x}_k^ - $ 、 ${{K}_k}$ 和 ${{\hat y}_k}$ 。

对于常参数识别问题，有 ${{x}_k}={{x}_{k - 1}}$ ，从而得到 ${\hat x}_k^ - ={\hat x}_{k - 1}^ + $ 。也就是说，对状态量x的先验估计步骤可以省略。因此，式（5）和（6）可分别改写为：

${{\hat x}_k}={{\hat x}_{k - 1}} + {{K}_k}({{y}_k} - {{\hat y}_k})$

(7)

${{\hat y}_k}={h_k}({{\hat x}_{k - 1}})$

(8)

式（6）或（8）是观测方程，描述的是观测量与待估参数之间的关系。其中，待估参数为混凝土本构模型参数。若观测量为应力，则式（2）也可作为观测方程，用于求出观测量的估计值。但当混凝土开裂后，尤其是当钢筋混凝土构件进入强非线性时，混凝土应力很难准确测量。同时，在混合试验中，试验构件的位移和恢复力是最为普遍的观测量，并且具有较高的精度。因此，以构件恢复力作为观测量。

若采用恢复力作为观测量会导致观测方程（也就是恢复力与本构参数之间的关系）很难解析表达。为此，作者提出采用OpenSees有限元软件计算观测量的估计值。简单地，就是通过OpenSees使用给定的本构参数样本点计算出恢复力样本点，进而获得观测量的估计值。为完成该功能，需要改写OpenSees源程序的部分代码，具体详见文献[11]。

2 混合试验架构 2.1 试验架构

标准混合试验主要由3个模块组成，协调器、数值子结构和试验子结构。协调器控制整个拟动力试验，包括结构运动方程的逐步求解和数据的传输功能；数值子结构和试验子结构在收到协调器发送的相关自由度的位移后，进行加载并将获得的相应恢复力返回给协调器，然后，由协调器求解地震作用下结构在下一时间步上的位移。更新混合试验在标准混合试验的基础上添加了识别模块，如图1所示。

从图1中可以看出，增加了识别模块后，原来标准混合试验的并行程序变为串行程序，因为识别模块需要在试验子结构加载并测得恢复力后进行参数识别，数值子结构需要等待识别模块给出新参数进行更新后计算获得的恢复力。与标准混合试验相比，材料本构模型参数更新混合试验需要另外建立试验子结构的有限元模型，并且该模型采用与数值子结构相同的材料本构模型。选择适当的优化方法，用试验子结构的试验数据对试验子结构有限元模型中的材料本构模型参数进行优化，并将优化参数更新到数值子结构。

图1中，R_e表示试验子结构测得的恢复力，R_n表示数值子结构计算的恢复力，P代表待识别更新的参数，P^samples代表参数的样本点， $ R_{\rm e}^{\rm samples}$ 代表恢复力（观测量）估计值的样本点，n为待估计参数的维数。对称采样的UT变换中，采样点数为2 $n$ +1。也就是说，OpenSees需要被MATLAB识别主程序调用2 $n$ +1次，每次运行使用不同的参数样本点。在运行2 $n$ +1次后，MATLAB根据恢复力样本点和试验子结构实测恢复力，根据式（5）计算出当前步参数估计值。

值得注意的是，计算的恢复力样本点不仅仅由本构参数和输入位移确定，还与历史变量（前一步的应力应变状态）有关。这就要求，OpenSees基于相同的历史变量计算2 $n$ +1次恢复力样本点。因此，OpenSees还需要用当前步参数的估计值额外再运行一次，从而获得下一时间步统一的历史变量。

2.2 试验布置

试验对象为单层单跨钢筋混凝土框架，如图2所示。取框架左柱为试验子结构，梁与右柱为数值子结构。为简化加载条件，以左柱一半的1/2缩尺模型为试验子结构，如图3所示。因假定梁为无穷刚，数值子结构可进一步简化为右柱的全尺寸模型。

根据长度单位相似关系

${l_{\rm{m}}}=S \cdot {l_{\rm{p}}}$

(9)

可得力单位的相似关系如下：

${F_{\rm{m}}}={S^2} \cdot {F_{\rm{p}}}$

(10)

式（9）～（10）中， $S$ 为相似比（文中 $S$ =1/2）， $l$ 表示长度单位， $F$ 表示力单位，下标 ${\rm{m}}$ 表示缩尺后的试件，下标 ${\rm{p}}$ 表示试件原型。由此，可获得将协调器与两个子结构之间传输位移和力的比例，见表1。

3 模型更新混合试验 3.1 参数初值

如第1.1节所述，约束与非约束混凝土的统一本构模型共有 $f_{\rm cu}$ 、 $\varepsilon_{\rm 0u}$ 、 $\varepsilon_{\rm du}$ 、 $K_{\rm c}$ 、 $K_{\rm s1}$ 、 $K_{\rm s2}$ 和 $K_{\rm s3}$ 7个本构参数。根据文献[11]中参数初值的确定方法可知：混凝土峰值强度参数 $f_{\rm cu}$ 的建议取值是混凝土轴心抗压强度的平均值 $\mu_{\rm fc}$ 。 $\varepsilon_{\rm 0u}$ =0.002， $\varepsilon_{\rm du}$ =0.003 8， $K_{\rm c}$ =0.85， $K_{\rm s1}$ = $f_{\rm yh}$ / $f_{\rm cu}$ ， $K_{\rm s2}$ =3 $K_{\rm s1}$ ， $K_{\rm s3}$ =0.003 $f_{\rm yh}$ / $\varepsilon_{\rm d}$ 。

通过材性试验，可获得混凝土的立方体抗压强度平均值 $\mu_{\rm f150}^{\rm s}$ =63.8 MPa，从而获得混凝土轴心抗压强度平均值为：

${\mu _{{\rm{fc}}}} =0.88\alpha {\text{×}} \mu _{{\rm{f150}}}^{\rm{s}} =42.7\;{\rm{MPa}}$

(11)

式中， $\alpha $ 与混凝土强度等级有关，C50以下混凝土， $\alpha $ =0.76。

试件箍筋为直径4 mm的高强钢丝，对其进行3次拉伸试验，加载速度为1 000 N/min。试验结果表明钢丝无明显屈服平台。图4给出了其中一根钢丝的拉伸试验结果。

3次拉伸最大荷载分别为8 550.62、8 611.25和8 558.10 N，取平均值的85%为屈服荷载，获得箍筋屈服应力为f_yh=579.9 MPa。最后获得混凝土本构参数的初值见表2所示。

试件纵筋为直径10 mm的HRB335级钢筋。进行3次拉伸试验，加载速度为4 800 N/min。获得钢筋下屈服力为354 MPa，弹性模量 $E$ _s为1.96 $ \times $ 10⁵。其中一根钢筋的拉伸试验结果如图5所示。

3.2 试验工况

本次混合试验共分为3个工况：标准工况、更新工况与参考工况，详见表3。标准工况的试验子结构（图3）在哈尔滨工业大学抗震试验室完成物理加载；数值子结构中混凝土本构模型参数采用表2所示的初值，纵向钢筋本构模型参数采用第3.1节材性试验获得的参数值；在试验过程中，钢筋与混凝土本构模型参数值保持不变。

更新工况与标准工况的试验子结构是相同的，区别在于数值子结构的混凝土本构模型参数是否有更新；更新工况中，混凝土本构模型参数值在试验的每一步都采用参数识别获得的当前步最优参数值进行更新。

参考工况中，试验子结构是通过有限元模型模拟的，它与数值子结构中材料本构模型参数采用的都是更新工况中参数识别的最终收敛值。

3.3 试验结果

选择调幅加速度峰值0.4g的El-Centro（NS, 1940）作为地震输入。工况2中参数识别结果如图6所示。3种工况的力–位移曲线和位移时程对比结果如图7所示。

因为在PGA=0.4g的地震荷载作用下，混凝土没有进入到本构模型下降阶段。所以，只与本构模型下降段函数相关的参数 $K_{\rm c}$ 在识别过程中没有变化，始终为直线。因此，图6中只给出了前两个敏感参数的识别结果。

从图6中可以看出，混凝本构模型参数识别表现较好，参数能够稳定、快速地收敛。通过数值模拟分析可知，本文的参数识别方法能够使参数较快、较稳定地收敛于真实值^[11]。同时，从图6（c）可以看出，采用识别获得最优参数的有限元模型所提供的构件恢复力的计算值与试验构件的实测恢复力吻合较好，一致性较高。因此，可以认为所提出的参数识别方法能够在试验过程中提供稳定、可靠的参数识别结果。

由图7中混合试验3种工况结果对比可以看出，本文提出的基于混凝土本构模型参数更新的混合试验比无更新的标准混合试验有较明显的提高。

4 结　论

提出了基于混凝土本构模型参数在线识别与更新的混合试验方法。结合混凝土与钢筋的材性试验，给出了混凝土本构参数初值的确定方法。分别在两个钢筋混凝土平面框架上完成了数值子结构无更新的标准混合试验和有更新的更新混合试验。同时，采用参数识别的收敛值模拟了该框架的混合试验。3种工况混合试验的对比结果表明：

1） 混凝土本构参数识别方法对于强非线性系统识别问题具有较好的稳定性，在试验过程中参数具有较好的收敛速度，且对试验观测噪声具有较好的鲁棒性，可以在其他类型结构的更新混合试验中进一步推广。

2） 开发了OpenSees模型更新模块，解决了UKF方法中非线性观测方程难以解析表达的问题，扩大了UKF方法在混合试验中的应用范围。

3） 通过给标准混合试验增加模型更新模块，实现了混凝土本构模型参数的识别与更新，提高了混合试验数值子结构的准确性，从而提高了混合试验结果的可靠性。